Rumus Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel dan Contoh Soal

Beranda
Kumpulan Artikel
Rumus Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel dan Contoh Soal

Rumus Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel dan Contoh Soal

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)

\begin{align}ax + by + cz &= d \\ex + fy + gz &= h \\ix + jy + kz &= l\end{align}

Keterangan:

a, b, c, e, f, g, i, j, dan k sebagai koefisien.
x, y, dan z sebagai variabel.
d, h, l sebagai konstanta.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Campuran(Eliminasi - Substitusi)

Keterangan:

Campuran yaitu dengan cara menghilangkan salah satu variabel x atau y, lalu mengubah variabel x atau y menjadi konstanta.

Contoh Soal SPLTV Ke-1

Diketahui 3 persamaan sebagai berikut:

\begin{align}5x + 4y + 2z &= 34 \\10x + 4y + 3z &= 57 \\10x + 8y + 3z &= 65\end{align}

Tentukan nilai x, y, dan z!

Jawaban Contoh Soal SPLTV Ke-1

Sebelum kita mencari sebuah variabel, karena ada 3 variabel, yaitu: x, y, dan z. Maka kita harus menghilangkan salah satu variabel terlebih dahulu dengan cara eliminasi. Kita beri nama tiap persamaan.

\begin{align}5x + 4y + 3z &= 35 &\:...\: persamaan\:1 \\10x + 4y + 4z &= 56 &\:...\: persamaan\:2 \\10x + 8y + 3z &= 67 &\:...\: persamaan\:3\end{align}

Untuk menghilangkan salah satu variabel, kita menggunakan cara dibawah ini:

1. Eliminasi persamaan 1 dengan persamaan 2
2. Eliminasi persamaan 2 dengan persamaan 3

Cara diatas untuk mengurangi variabel menjadi 2. Maka, disini kita memilih eliminasi atau menghilangkan variabel x. Pertama - tama kita eliminasikan variabel x pada persamaan 1 dan 2.

\begin{align}5x + 4y + 3z &= 35|×2| &10x + 8y + 6z = 70 &\:...\: persamaan\:1 \\10x + 4y + 4z &= 56|×1| &10x + 4y + 4z = 56 &\:...\: persamaan\:2 \\\end{align}

Dilanjutkan.

\begin{align}10x + 8y + 6z \text{ } & \text{= } 70 \\\underline{\smash{10x + 4y + 4z \text{ }}} & \underline{\smash{= 56 -}} \\4y + 2z \text{ } & \text{= } 14 &\:...\: persamaan\:4\end{align}

Setelah ketemu persamaan 4. Sekarang, kita mencari persamaan 5. Karena, tadi persamaan 4 didapat dari eliminasi persamaan 1 dengan persamaan 2. Jadi, untuk persamaan 5 didpaat dari eliminasi persamaan 2 dengan persamaan 3. Kita eliminasikan persamaan 2 dan 3.

\begin{align}10x + 4y + 4z \text{ } & \text{= } 56 &\:...\: persamaan\:2 \\\underline{\smash{10x + 8y + 3z \text{ }}} & \underline{\smash{= 67\:-}} &\:...\: persamaan\:3 \\-4y + z \text{ } & \text{= } -11 &\:...\: persamaan\:5\end{align}

Setelah kita menemukan persamaan 4 dan persamaan 5. Kita eliminasikan untuk mencari nilai variabel y atau variabel z. Karena kita akan mencari nilai z, kita eliminasikan variabel y pada persamaan 4 dan 5.

\begin{align}4y + 2z \text{ } & \text{= } 14 &\:...\: persamaan\:4 \\\underline{\smash{-4y + z \text{ }}} & \underline{\smash{= -11\:+}} &\:...\: persamaan\:5 \\3z \text{ } & \text{= } 3& \\z \text{ } & \text{= } \frac{3}{3}& \\z \text{ } & \text{= } 1&\end{align}

Setelah mengetahui nilai z. Setelah itu, substitusikan nilai z kedalam persamaan 5 atau 4 untuk mengetahui nilai variabel y. Kita pilih variabel 5.

\begin{align}-4y + z &= -11 &\:...\: persamaan\:5 \\-4y + (1) &= -11 \\-4y + 1 &= -11 \\-4y &= -11 - 1 \\-4y &= -12 \\y &= \frac{-12}{-4} \\y &= 3\end{align}

Setelah mengetahui nilai variabel y dan z. Maka, substitusikan nilai variabel y dan z kedalam persamaan 1, 2, atau 3 untuk mengetahui nilai dari variabel x. Kita memilih persamaan 1 untuk mencari nilai variabel x.

\begin{align}5x + 4y + 3z &= 35 &\:...\: persamaan\:1 \\5x + 4(3) + 3(1) &= 35 \\5x + 12 + 3 &= 35 \\5x &= 35 - 3 - 12 \\5x &= 20 \\x &= \frac{20}{5} \\x &= 4\end{align}

Jadi, jawabanya adalah x = 4, y = 3, dan z = 1.

Lihat Daftar Kumpulan Artikel

ARTIKEL

KALKULATOR RUMUS